二次 Dirichlet L-函数的低零点、超椭圆曲线与随机矩阵理论
数论
2013-05-07 v4
摘要
Katz 和 Sarnak 猜想二次 Dirichlet L-函数低零点的统计特性由酉辛系综特征值的缩放极限给出。Rubinstein 在其 1998 年的博士论文中发现，在傅里叶域原点附近的某个邻域内，n 级密度与此猜想一致。Peng Gao (2005) 在其博士论文中尝试扩展该邻域，他在广义黎曼猜想 (GRH) 下给出了一个复杂的组合因子作为密度，但该因子是否与随机矩阵理论 (RMT) 因子一致仍悬而未决。Levinson 和 Miller 最近确认了对于 n 至多为 7 的情况成立。我们解决了所有 n 的情况，并非直接进行组合计算，而是转向函数域类比，即有限域 上给定亏格 g 的超椭圆曲线相关的 L-函数。我们表明，在这种情况下，答案与 Gao 的组合因子在受控误差范围内一致。随后，我们取有限域大小 q 趋于无穷大的极限，并利用 Katz-Sarnak 等分布定理，该定理将超椭圆系综的 Frobenius 共轭类的单群等同于 USp(2g) 群。进一步取大亏格 g 趋于无穷大的极限，使我们能够将 Gao 的组合因子与 RMT 答案等同起来。
引用
@article{arxiv.1208.5962,
title = {Low-lying zeros of quadratic Dirichlet L-functions, hyper-elliptic curves and Random Matrix Theory},
author = {Alexei Entin and Edva Roditty-Gershon and Zeev Rudnick},
journal= {arXiv preprint arXiv:1208.5962},
year = {2013}
}
备注
Added references and some minor changes. Final version, to appear in GAFA