尖点形式族的随机矩阵模型综述

Katz-Sarnak 哲学指出，当导子趋于无穷大时，$L$-函数族在中心点附近的零点统计量与当矩阵尺寸趋于无穷大时随机矩阵系综的特征值统计量一致。虽然有许多结果支持这一猜想，但 S. J. Miller 观察到，对于有限导子，椭圆曲线族中中心点附近的零点可能会出现非常不同的行为。这导致了 Due\~{n}ez、Huynh、Keating、Miller 和 Snaith 提出的切除模型，该模型对给定椭圆曲线的二次扭转的预测与数据完美拟合。关键要素包括将$L$-函数中心值的离散化与基于特征多项式在 1 处的值切除矩阵联系起来，并使用低阶项（如在单级密度和配对相关等统计量中）来调整矩阵大小。我们讨论了作者最近在将此模型扩展到给定奇素数水平的全纯尖点新形的有限导子二次扭转族方面取得的成功。特别是，我们预测对于权重大于 2 的形式，排斥作用非常小。