有限导子椭圆曲线 L-函数的随机矩阵模型

我们提出了一个用于有限导子椭圆曲线 L-函数族的随机矩阵模型。S. J. Miller 在 2006 年通过数值计算观察到这些 L-函数的临界零点远离临界带的中心；这种行为在性质上偏离了零点的推测极限分布（对于大导子，该分布预期在适当重标度后趋近于正交矩阵特征值的一级密度）。我们的目的是为 Miller 的这一惊人发现提供一个随机矩阵模型。我们考虑给定椭圆曲线的偶二次扭曲族。我们模型的主要成分是计算随机正交矩阵的特征值分布，这些矩阵的特征多项式在谱的对称点处大于某个给定值。我们将 SO(2N) 的这个子系综称为切除正交系综。筛除特征多项式值较小的矩阵，类似于由 Waldspurger 和 Kohnen-Zagier 公式所隐含的 L-函数中心值的离散化。适用于模拟椭圆曲线 L-函数的截止尺度相对于矩阵大小 N 呈指数级小。切除系综的一级密度可以用著名的 Jacobi 系综的一级密度来表示，从而使前者能够被显式计算。它表现出一个由截止值决定的指数级小（在平均间距尺度上）硬间隙，随后是在更大尺度上的软排斥。这些特征在 SO(2N) 的一级密度中均不存在。当 N 趋于无穷时，我们恢复了极限正交行为。我们的结果与 Miller 的偏差定性一致。适当选择截止值，可以得到一个与数论数据定量吻合良好的模型。