全纯尖点新形式族的 1-级密度中的低阶项

Katz-Sarnak 密度猜想指出，当导子趋于无穷大时，L-函数族在中心点附近的归一化零点的行为与 U(N) 子群在 1 附近的特征值的 $N \to \infty$ 缩放极限一致。通过研究 n-级密度，已在许多族中发现了支持该猜想的证据；对于适当受限的测试函数，主项与随机矩阵理论一致。特别是，所有在 $\mathbb{Q}(T)$ 上秩为 $r$ 且具有相同函数方程符号分布的椭圆曲线单参数族都具有相同的极限行为。我们打破了这种普适性，并在许多情况下发现了依赖于族的低阶修正项；这些低阶项的应用范围从超额秩到模拟中心点附近零点的行为，且取决于族的算术性质。我们推导了 GL(2) L-函数显式公式的一种替代形式，简化了比较过程，用 Fourier 系数 $\lambda_f(p)$ 的矩之和取代了 Satake 参数幂次之和。我们的公式突出了我们预期存在的差异，即来自 Fourier 系数遵循不同规律的族（例如，我们预期 Sato-Tate 分布仅适用于非 CM 椭圆曲线族）。此外，根据 Rosen 和 Silverman 的工作，我们预期在 $\mathbb{Q}(T)$ 上具有秩的椭圆曲线族中，Fourier 系数存在低阶偏差；这些偏差可以在我们的展开式中看到。我们分析了几个椭圆曲线族，并观察到了不同的低阶修正，这取决于该族是否具有复乘法、强制挠点或在 $\mathbb{Q}(T)$ 上具有非零秩。