Rankin-Selberg $L$-函数的低层零点

我们研究$GL(2) \times GL(2)$ Rankin-Selberg $L$-函数的低层零点。在广义Riemann假设下，我们计算了$L(s, f \otimes g)$低层零点的$1$-水平密度，其中对Rankin-Selberg卷积的族取平均，$f, g$分别为具有偶权$k_1, k_2$与素级$N_1, N_2$的尖形式新形式。Katz-Sarnak密度猜想预测，在极限下，合适的$L$-函数族的$1$-水平密度与相应随机矩阵族的特征值分布相同。$1$-水平密度依赖于光滑检验函数$\phi$，其Fourier变换$\widehat\phi$具有紧支集。一般地，我们证明Katz-Sarnak密度猜想对支集$\operatorname{supp} \widehat\phi \subset (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$的检验函数$\phi$成立。当$N_1 = N_2$时，对$k_1 \ne k_2$我们证明密度猜想对$\operatorname{supp} \widehat\phi \subset (-\frac{5}{4}, \frac{5}{4})$成立，而对$k_1 = k_2$对$\operatorname{supp} \widehat\phi \subset (-\frac{29}{28}, \frac{29}{28})$成立。当$\widehat\phi$的支集超出$(-1, 1)$时会出现一项低阶项，这使得这些结果尤为有趣。使我们能将$\widehat\phi$的支集扩展到$(-1, 1)$之外的核心思想是对由Petersson公式产生的Kloosterman和之积的分析。我们还仔细处理了$k_1 = k_2$情形下极点的贡献。我们的工作给出了在中心点为非消失的Rankin-Selberg $L$-函数比例的条件下界，以及Keating和Snaith关于中心$L$-值的相关猜想的条件下界。