二次 Dirichlet $L$-函数的低层零点：扩展支撑下的低阶项

我们研究了对应于导子不超过 $X$ 的实本原特征的 Dirichlet $L$-函数的低层零点的 $1$-水平密度。在广义黎曼假设下，我们给出了该量关于 $\log X$ 的降幂渐近展开，该展开在相应偶检验函数 $\phi$ 的傅里叶变换的支撑包含于 $(-2,2)$ 时成立。我们揭示了当 $\hat \phi$ 的支撑的上确界 $\sigma$ 达到 $1$ 时，无论是在主项还是低阶项中均出现相变。在 $\sigma=1$ 时出现的一个新的低阶项涉及量 $\hat \phi (1)$，并且类似于 Rudnick 在函数域情形中分离出的一个低阶项。