超椭圆系综中二次Dirichlet $L$-函数的零点

我们研究函数域中二次Dirichlet $L$-函数零点的1-水平密度和配对关联，当我们在系综 $\mathcal{H}_{2g+1}$（由 $\mathbb{F}_q[x]$ 中首一、无平方因子多项式构成）上取平均时。在1-水平密度情形下，当检验函数的傅里叶变换支撑于受限区间 $(\frac{1}{3},1)$ 时，我们计算出一个大小为 $q^{-\frac{4g}{3}}/g$ 的次主导项，这是Ratios Conjecture所未预测的。此外，当支撑进一步受限时，我们得到若干低阶项。例如，若傅里叶变换支撑于 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$，我们识别出另一个大小为 $q^{-\frac{8g}{5}}/g$ 的低阶项。我们也计算了配对关联，并且如同1-水平密度那样，在某些限制下检测到低阶项；例如，当傅里叶变换支撑于 $(\frac{1}{4},\frac{1}{2})$ 时，我们看到一个大小为 $q^{-g}/g^2$ 的项。1-水平密度与配对关联使我们能获得 $L(\frac12,\chi_D)$ 的非消失结果，以及该族 $L$-函数简单零点比例的下界。