比率猜想与函数域上$L$-函数负矩的上界

我们证明了函数域上二次Dirichlet $L$-函数族的比率猜想的特殊情形。更具体地，我们研究当$D$取遍$\mathbb{F}_q[x]$上次数为$2g+1$的首一、无平方因子多项式且$g \to \infty$时，$L(1/2+\alpha,\chi_D)/L(1/2+\beta,\chi_D)$的平均值，并在$\Re \beta \gg g^{-1/2+\varepsilon}$时得到渐近公式。我们还研究了2个对2个以及3个对3个$L$-函数乘积的平均值，并分别在分母中位移的实部大于$g^{-1/4+\varepsilon}$与$g^{-1/6+\varepsilon}$时得到渐近公式。证明中的主要成分是获得$L$-函数负矩的上界。我们所获得的上界在上述范围内预期近乎尖锐。作为一个应用，我们恢复了该族中零点一级密度在傅里叶变换支撑集为$(-2,2)$时的渐近公式。