Maass 形式 $L$-函数的低位零点

Katz-Sarnak 密度猜想指出，自守 $L$-函数族的零点分布的标度极限与酉群 $U(N)$ 的经典子群的特征值分布的标度极限一致。这一猜想通常通过计算特定统计量来检验，例如单层密度，即在中心点附近的归一化零点处计算具有紧支撑 Fourier 变换的测试函数。Iwaniec、Luo 和 Sarnak 研究了权为 $k$、级为 $N$ 的尖点新形式单层密度。他们证明了在 $kN \to\infty$ 的极限下，对于 Fourier 变换支撑在 $(-2,2)$ 内的测试函数，这些函数族的单层密度与正交型一致。突破 $(-1,1)$ 的支撑范围很重要，因为三个正交群在支撑不超过 $(-1,1)$ 时是不可区分的，但在任何更大的支撑下则是可区分的。我们研究了 $\mathbb{Q}$ 上 ${\rm GL}_2$ 自守形式的另一个函数族：Maass 形式。为了便于分析，我们在 Kuznetsov 公式中使用了光滑权函数，这些函数除了其他限制外，在原点处 $M$ 阶消失。对于 Fourier 变换支撑在 $\left(-2 + \frac{2}{2M+1}, 2 - \frac{2}{2M+1}\right)$ 内的测试函数，我们无条件地证明了当特征值趋于无穷大时，级为 1 的 Maass 形式低位零点的单层密度仅与正交矩阵的标度极限一致。