L-函数比值猜想的正交检验

我们检验了 L-函数比值猜想对于权为 $k$、级为 $N$ 的尖点新形式族的预测，其中要么固定 $k$ 而 $N$ 沿素数趋于 $\infty$，要么 $N=1$ 而 $k \to \infty$。我们研究了 1-级密度中的主项和低阶项。通过计算并确认该猜想的预测在族基数上具有幂次节省，我们为比值猜想提供了证据，至少对于傅里叶变换支撑在 $(-2, 2)$ 内的测试函数而言是如此。我们对加权和未加权的 1-级密度均进行了此项工作（在加权情形下我们使用 Petersson 权重），从而表明两种表述均可使用。这两个 1-级密度相差一个大小为 $1 / \log(k^2 N)$ 的项。最后，我们展示了扩展比值猜想中出现的求和的另一种方法，该方法导致不同的答案（尽管该答案是一个低阶项，以至于无法指望观察到哪一个是正确的）。