具有正交对称性的 L-函数的低伏零点
摘要
我们研究权为 k、素级 N 的尖形式新形式之 L-函数在中心点附近零点的光滑计数函数的矩。我们按函数方程的符号分裂,并证明对于傅里叶变换支撑在 (-1/n, 1/n) 的测试函数,当 N --> oo 时前 n 个中心矩为高斯分布。将支撑集扩展到 (-1/n-1, 1/n-1),我们观察到非高斯行为;特别地,此类测试函数的奇中心矩非零。若不予符号分裂,则在 2k >= n 时,对于支撑在 (-2/n, 2/n) 的测试函数我们得到高斯行为。在此扩展范围内第 n 个中心矩与随机矩阵理论一致,为 Katz-Sarnak 猜想提供了额外的支持。证明需要计算 Petersson 公式的 Bessel-Kloosterman 展开中非对角项的多维积分。我们将这些多维积分转化为 Iwaniec-Luo-Sarnak 工作中已考虑的一维积分,并推导出此类测试函数第 n 个中心矩的一个新的且更易于处理的表达式。这一新公式通过简化组合论证,促进了数论与随机矩阵理论在支撑于 (-1/n-1, 1/n-1) 的测试函数下的比较。作为一个应用,我们得到了具有给定中心点消失阶数的此类尖形式所占比例的界。
引用
@article{arxiv.math/0507450,
title = {Low lying zeros of L-functions with orthogonal symmetry},
author = {C. P. Hughes and Steven J. Miller},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0507450},
year = {2010}
}
备注
38 pages: revised draft: increased the support in the split cases from 1/(n - 2/3) to 1/(n-1), included applications of the centered moments to improved estimates on the order of vanishing at the central point. To apppear in the Duke Mathematical Journal