基于一级密度低阶项的立方域计数 Omega 结果

在本文中，我们获得了附属于非 Galois 三次 Dedekind zeta 函数的 $L$-函数之 $1$-级密度的精确公式。我们发现了一个在此背景下独有的次级项，其意义在于此前所研究的族中未出现过此种形状的低阶项。这一新项的存在使得我们能够在广义黎曼假设下推导出立方域计数函数的 omega 结果。我们还研究了相关的 $L$-函数 Ratios Conjecture，发现它并未预测这一新的低阶项。考虑到 Roberts 猜想中的次级项，我们将 Ratios Conjecture 精炼为一个能捕捉该新项的猜想。最后，我们证明：近期 Bhargava--Taniguchi--Thorne 立方域计数估计中误差项指数的任何改进，都将蕴含精炼 Ratios Conjecture 中最佳可能误差项为 $O_\varepsilon(X^{-\frac 13+\varepsilon})$。这与所有先前研究的族相反，在那些族中 Ratios Conjecture 对 $1$-级密度的预测误差预期为 $O_\varepsilon(X^{-\frac 12+\varepsilon})$。