低特征大有限域子集中的多项式模式

我们证明了 (Peluse, 2019) 中主要结果的低特征对应形式，为某些多项式族的多项式 Szemerédi 定理建立了幂节省界。具体而言，我们证明若 $P_1, \dots, P_m \in (\mathbb{F}_p[t])[y]$ 满足等分布条件（这是 (Peluse, 2019) 中独立性条件在我们语境下的自然变体），则存在 $\gamma > 0$，使得对任意 $q = p^k$ 及任意 $A_0, A_1, \dots, A_m \subseteq \mathbb{F}_q$，\begin{align*} \left| \left\{ (x,y) \in \mathbb{F}_q^2 : x \in A_0, x + P_1(y) \in A_1, \dots, x + P_m(y) \in A_m \right\} \right| = q^{-(m-1)} \prod_{i=0}^m{|A_i|} + O_{q \to \infty; P_1, \dots, P_m} \left( |A_0|^{1/2} q^{3/2 - \gamma} \right). \end{align*} 特别地，若 $A \subseteq \mathbb{F}_q$ 不含基数为 $m+1$ 的模式 $\{x, x + P_1(y), \dots, x + P_m(y)\}$，则 \begin{align*} |A| \ll_{P_1, \dots, P_m} q^{1 - \gamma/ \left( m + \frac{1}{2} \right)}. \end{align*}