有限交换环上的多项式 Szemerédi 定理
摘要
多项式 Szemerédi 定理表明，对任意 δ∈(0,1)、任意由常数项为零的非恒定多项式组成的族 {P₁,…,P_m}⊂ℤ[y]，以及任意足够大的 N，{1,…,N} 中基数至少为 δN 的任一子集均包含形如 {x,x+P₁(y),…,x+P_m(y)} 的非平凡构型。当假设多项式相互独立时，人们可期望在有限域上有更锐利的结果成立，其特例近来已被证明，直至处理独立多项式一般情形的 arXiv:1802.02200 达到顶点。本文的目标之一是将这些定理解释为在渐近全遍历性存在下的联合遍历性之结果。受此概念引导，我们在一般有限交换环上建立了关于独立多项式 {P₁,…,P_m}⊂ℤ[y₁,…,y_n] 的多项式 Szemerédi 定理版本，推导出新的组合推论，例如下述结论。设 ℝ 为有限交换环的集合，对其挠率满足温和条件。存在 γ∈(0,1)，使得对每个 R∈ℝ，R 中基数至少为 |R|^{1−γ} 的任一子集 A 包含某个 (x,y)∈R×R^n 下的非平凡构型 {x,x+P₁(y),…,x+P_m(y)}，并且对任意满足 |A₀|⋯|A_m|≥|R|^{(m+1)(1−γ)} 的子集 A₀,…,A_m⊂R，存在非平凡构型 (x,x+P₁(y),…,x+P_m(y))∈A₀×⋯×A_m。一般环具有零因子这一事实是诸多障碍的根源，我们克服了这些障碍；例如，通过研究特征和，我们给出了整系数多项式在一般有限交换环上根的个数之界，这一结果本身具有独立意义。
引用
@article{arxiv.2303.17928,
title = {On the Polynomial Szemer\'edi Theorem in Finite Commutative Rings},
author = {Vitaly Bergelson and Andrew Best},
journal= {arXiv preprint arXiv:2303.17928},
year = {2025}
}
备注
105 pages. This version implements many, but not all, referee comments. A much shorter version of this article has been submitted to a journal, and this is the expanded version to which it refers