torus 上的具有大赫氏维集的多项式 Szemerédi 定理

设 $\mathbb{P}= \{P_1, \cdots, P_{k}\in \mathbb{R}[y]\}$ 为具有不同次数且零常数项的多项式集合。我们证明存在 $\epsilon=\epsilon(\mathbb{P})>0$，使得对于任意紧致集合 $E \subset \mathbb{T}$ 且 dim(E)$>1-\epsilon$，可找到 $y\neq 0$ 使得 $\{x,x+P_1(y), \cdots,x+P_k(y)\} \subset E$。该证明依赖于适当版本的 Sobolev 平滑不等式，并借鉴了 Peluse \cite{P19}、Durcik and Roos \cite{DR24} 以及 Krause, Mirek, Peluse, and Wright \cite{KMPW24} 的思想。作为 Sobolev 平滑不等式的副产品，我们展示了某些多项式多重 Ergodic 平均的点态收敛问题的发散集的赫氏维数严格小于一。