局部域上正上密度集中的多项式构型

令 $F(x)=(f_1(x), \dots, f_m(x))$ 满足 $1, f_1, \dots, f_m$ 是具有实系数的线性无关多项式。基于 Bachoc、DeCorte、Oliveira 与 Vallentin 的思想，并结合对具有多项式相位的某些振荡积分的估计，我们将证明 $\mathbb{R}^m$ 的凯莱图相对于由 $a\leq \log |s| \leq T$ 定义的 $F$ 图像部分的独立比至多为 $O(1/(T-a))$。我们得出结论：若 $I \subseteq \mathbb{R}^m$ 具有正上密度，则差集 $I-I$ 包含形如 $F(s)$ 的向量，其中 $s \in \mathbb{R}$ 取无界集合中的值。由此推出 $\mathbb{R}^m$ 相对于集合 $\{ \pm F(s): s \in \mathbb{R} \}$ 的凯莱图的博雷尔色数是无限的。当 $\mathbb{R}$ 被 $p$-进数域 $\mathbb{Q}_p$ 替代时，也证明了类似结果。最后，我们也将给出实解析函数 $f_1, \dots, f_m$ 的存在性，对于这些函数类似陈述不再成立。