正密度集合中的和与积

我们发展了一种从傅里叶分析和 ergodic 理论中提取工具，以研究整数中和与积的 Ramsey 问题的方法。设 $Q$ 表示一个整数系数多项式。我们提出了两个主要结果：第一，若 $Q(1) = 0$，则任何具有正上对数密度的自然数集合包含形如 $\{x + Q(y), xy\}$ 的一对，其中 $x, y \in \mathbb{N} \setminus \{1\}$。第二，若 $Q(0) = 0$，则任何具有相对于新乘法密度概念（这种密度在此类问题的背景下自然出现）的正密度的自然数集合包含 $\{x + Q(y), xy\}$，其中 $x, y \in \mathbb{N}$。