参数化广义多项式方程组唯一非退化解的存在性

我们考虑 $n$ 个正变量中带有实指数的参数化广义多项式方程组，该方程组涉及 $m$ 个带有正参数的单单项式；即 $x\in\mathbb{R}^n_>$ 使得 ${A \, (c \circ x^B)=0}$，其中系数矩阵 $A\in\mathbb{R}^{l \times m}$，指数矩阵 $B\in\mathbb{R}^{n \times m}$，参数向量 $c\in\mathbb{R}^m_>$（以及分量乘积 $\circ$）。我们的主要结果根据多项式系统的相关几何对象：系数多面体和单项式依赖子空间，刻画了对于所有参数存在唯一非退化解（在指数流形意义上）的条件。从技术上讲，我们证明了唯一非退化解的存在性等价于一个复合（单项式-指数矩）映射是一个微分同胚，并且我们利用哈达玛全局反函数定理刻画了这一性质。此外，我们根据这些几何对象的符号向量提供了充分条件，这代表了笛卡尔符号规则对于恰好一个解的真实多元推广。最后，我们通过一个具体例子说明了所有对象和结果。