基于线性代数与凸几何的广义多项式不等式参数化系统

我们给出了关于广义多项式$\textit{不等式}$(具有实指数和正参数)的参数化系统正解的基础结果,包括广义多项式$\textit{方程}$。在此过程中,我们也对少项多项式和(广义)质量作用系统提供了新视角。我们发现,决定广义多项式系统的几何对象而非矩阵:一个有界集/“多面体” $P$(源于系数矩阵)以及表示单项式差与依赖关系的两个子空间(源于指数矩阵)。后一子空间的维数,即单项式依赖度 $d$,至关重要。作为主要结果,我们将$\textit{多项式不等式}$改写为 $P$ 上涉及参数中 $d$ 个单项式的 $d$ 个$\textit{二项式方程}$。特别地,我们通过指数化建立了原解集与 $P$ 上解集之间的显式双射。(i) 我们的结果适用于任意广义多项式系统。(ii) 依赖度 $d$ 与 $P$ 的维数指示了系统的复杂度。(iii) 我们的结果基于线性代数与凸/多面体几何的方法,且 $P$ 上的解集可进一步利用分析中的方法研究,如符号特征函数(本工作引入)。我们通过来自实少项多项式与反应网络理论的三个例子阐释了我们的结果(特别是相关几何对象)。对于两个质量作用系统,我们分别参数化了平衡集与多稳态区域,且即使对单变量三项式,我们也提供了新见解:我们给出了涉及判别式与“根”的“解公式”。