多项式与乘积的无界展开

给定 $d,s \in \mathbb{N}$、有限集 $A \subseteq \mathbb{Z}$ 以及多项式 $\varphi_1, \dots, \varphi_{s} \in \mathbb{Z}[x]$ 使得对每个 $1 \leq i \leq s$ 有 $1 \leq deg \varphi_i \leq d$，我们证明对某个 $\eta_s \gg_{d} \log s / \log \log s$ 有 $$|A^{(s)}| + |\varphi_1(A) + \dots + \varphi_s(A) | \gg_{s,d} |A|^{\eta_s} ,$$ 此外，若对每个 $1 \leq i \leq s$ 有 $\varphi_i(0) \neq 0$，则 $$|A^{(s)}| + |\varphi_1(A) \dots \varphi_s(A) | \gg_{s,d} |A|^{\eta_s}.$$ 这些结果推广并加强了 Bourgain--Chang、P\'{a}lv"{o}lgyi--Zhelezov 以及 Hanson--Roche-Newton--Zhelezov 的先前结果。我们通过证明相应的低能分解来推导这些估计。后者为各种和积类问题提供了进一步的应用，包括关于任意整数集中大加性与乘性 Sidon 集的问题。