余弦多项式零点计数：关于 Littlewood 的一个问题

我们证明如果 $A$ 是一个非负整数有限集，则函数 $$f_A(\theta) = \sum_{a \in A} \cos(a\theta),$$ 在 $[0,2\pi]$ 中的零点数至少为 $(\log \log \log |A|)^{1/2-\varepsilon}$。这给出了 Littlewood 问题第一个无条件下界，解决了 Borwein, Erd\'elyi, Ferguson 和 Lockhart 的一个猜想，并改进了 Borwein 和 Erd\'elyi 的工作。我们还证明了一个适用于具有“少数”不同有理系数的更一般余弦多项式的结果。证明中的主要成分之一或许具有独立意义：我们证明如果 $f$ 是一个具有“少数”不同整数系数的指数多项式，且 $f$ 与低次指数多项式 $P$ “相关”，则 $f$ 具有非常特定的结构。