波利亚问题的一组充分条件

设 $\alpha$ 为一个非零代数数。设 $K$ 为 $\mathbb{Q}(\alpha)$ 的伽罗瓦闭包，其伽罗瓦群为 $G$，$\bar{\mathbb{Q}}$ 为 $\mathbb{Q}$ 的代数闭包。在本文中，除其他结果外，我们证明如下结论。若 $f\in \bar{\mathbb{Q}}[G]$ 是群环 $\bar{\mathbb{Q}}[G]$ 的一个非零元素，且 $\alpha$ 为给定的代数数，使得对无穷多个自然数 $n$ 有 $f(\alpha^n)$ 为非零代数整数，则 $\alpha$ 为代数整数。该结果推广了 Polya [11]、Corvaja 与 Zannier [2] 以及 Philippon 与 Rath [9] 的结果。我们还证明了这一结果对于具有代数系数的有理函数的类比。受 B. de Smit [4] 的结果启发，我们证明了针对由非零代数数构成的二元递推序列的波利亚型结果的有限版本。为证明这些结果，我们运用了 Corvaja 与 Zannier 的技术以及 Kulkarni 等人 [6] 的结果，后者是 Schmidt 子空间定理的应用。