强代数与根 Sylvester-Gallai 构型

本文证明了经典 Sylvester-Gallai 定理的如下非线性推广。设 $\mathbb{K}$ 为特征 $0$ 的代数闭域，$\mathcal{F}=\{F_1,\cdots,F_m\} \subset \mathbb{K}[x_1,\cdots,x_N]$ 为一族次数至多为 $d$ 的不可约齐次多项式集合，且对 $i\neq j$ 有 $F_i$ 不是 $F_j$ 的标量倍。假设对任意两个不同的 $F_i,F_j\in \mathcal{F}$，存在 $k\neq i,j$ 使得 $F_k\in \mathrm{rad}(F_i,F_j)$。我们证明此类根 SG 构型必为低维的。更确切地说，我们证明存在函数 $\lambda : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$，独立于 $\mathbb{K},N$ 与 $m$，使得任意此类构型 $\mathcal{F}$ 满足 $$\dim (\mathrm{span}_{\mathbb{K}}{\mathcal{F}}) \leq \lambda(d).$$ 我们的结果证实了 Gupta [Gup14, Conjecture 2] 的一个猜想，并推广了 [S20,OS22] 的二次与三次 Sylvester-Gallai 定理。我们的结果使我们向首个用于具有有界顶层与底层扇入的深度-4 电路多项式恒等式测试（PIT）问题的确定性多项式时间算法更近一步。我们的结果结合 [AH20a,DLL19,ESS21] 的 Stillman 一致性型结果，给出了由根 SG 构型生成的理想的若干代数不变量（如射影维数、Betti 数与 Castelnuovo-Mumford 正则性）的一致界。