子空间排列的 Sylvester-Gallai 定理

本文研究了 $k$-维子空间 $V_1,\ldots,V_n \subset \mathbb{C}^\ell$ 的排列。我们的主要结果表明，如果每一对子空间 $V_{a},V_b$ 都包含在一个依赖三元组中（即三元组 $V_{a},V_b,V_c$ 包含在一个 $2k$-维空间内），那么整个排列必须包含在一个维度仅依赖于 $k$（而不依赖于 $n$）的子空间中。该定理在假设每对子空间满足 $V_a \cap V_b = \{0\}$ 的条件下成立（否则不成立）。这推广了 Sylvester-Gallai 定理（或复数域上的 Kelly 定理），后者证明了 $k=1$ 的情形。我们的证明还处理了许多对（而非全部）子空间出现在依赖三元组中的排列情况，推广了 Barak 等人 [BDWY-pnas] 的定量结果。证明的主要要素之一是对 Barthe 定理 [Bar98] 的加强（从 $k=1$ 推广到 $k>1$ 的情形），证明了存在一个线性映射，使得子空间对之间的夹角在平均意义上变大。除非存在某种阻碍形式（即一个低维子空间与排列中的许多子空间相交，此时可使用不同的论证来证明主定理），否则可以找到这样的映射。