无 $3$-簇的子空间族

有限域上 $n$ 维向量空间 $V$ 的三个 $k$ 维子空间 $A$、$B$ 和 $C$ 被称为 $3$-簇，如果 $A \cap B \cap C = \{\mathbf{0}_V\}$ 且 $\dim(A+B+C) \leq 2k$。一种特殊的 $3$-簇，我们称之为覆盖三元组，由满足 $A = (A \cap B )\oplus (A \cap C)$ 的子空间 $A,B,C$ 组成。我们证明，对于 $2 \leq k \le n/2$，无覆盖三元组的 $k$ 维子空间族的最大规模与最大星族（即所有包含某一指定非零向量的子空间族）的规模相同。此外，我们证明如果 $k < n/2$，则星族是实现此最大规模的唯一族。这反过来对 $3$-簇蕴含了相同的结果，给出了 Mubayi 关于集合系统的定理在向量空间中的类比。