网格中 k 维无角子集的个数

若 $k$ 维网格 $\{1,2, \cdots, N\}^k$ 的子集 $A$ 不包含形如 $\{ a \} \cup \{ a + de_i : 1 \leq i \leq k \}$（其中 $a \in \{1,2, \cdots, N\}^k$ 且 $d > 0$，$e_1,e_2, \cdots, e_k$ 为 $\mathbb{R}^k$ 的标准基）的点集，则称其为 $k$ 维无角的。我们将 $\{1,2, \cdots, N\}^k$ 中 $k$ 维无角子集的最大大小记为 $c_k(N)$。本文中，我们证明了对无穷多个 $N$ 值，$\{1,2, \cdots, N\}^k$ 中 $k$ 维无角子集的个数至多为 $2^{O(c_k(N))}$。我们证明的主要工具是大小为 $\Theta(c_k(N))$ 的集合中 $k$ 维角的超饱和结果以及超图容器方法。