由更优的 NOF 精确-$N$ 协议构造更大的无角集

整数平面网格 $[N] \times [N]$ 的子集若不含形如 $(x,y), (x+\delta,y), (x,y+\delta)$ 的三元组，则称为无角集。已知这样的集合具有趋于零的密度，但其密度最大可能为多少仍属未知。此前最好的构造基于 Behrend 的无 $3$ 项算术级数的 $[N]$ 大子集。本文提供了数十年来对该下界的首次实质性改进。我们处理此问题的方法基于通信复杂度理论。在 $3$ 方精确-$N$ 问题中，玩家需要对输入 $x,y,z$ 与固定 $N$ 是否满足 $x+y+z=N$ 作出判定。这是在多方 Number On the Forehead（NOF）模型中考虑的第一个问题。尽管该问题性质基础，多年来却毫无进展。直到最近才首次发现显式协议，但迄今在复杂度上未获任何改进。本文给出了精确-$N$ 问题的首个改进协议。这也是通信复杂度中算法思想在加性组合学中结出果实的首个重要例子。