不含 $k$ 项等差数列的整数子集的个数

针对 Cameron 和 Erd\Ho s 的一个问题，我们证明，对于无穷多个 $n$ 值，集合 $\{1,2,\ldots, n\}$ 中不包含 $k$ 项等差数列的子集个数至多为 $2^{O(r_k(n))}$，其中 $r_k(n)$ 是不包含 $k$ 项等差数列的 $\{1,2,\ldots, n\}$ 子集的最大基数。该上界在指数上相差一个常数因子是最优的。对于所有 $n$ 值，我们证明了一个较弱的界，但这足以将当前关于 $r_k(n)$ 的最佳上界转移到稀疏随机情形。为得到这些界，我们建立了一个新的超饱和结果，粗略地说，大小为 $\Theta(r_k(n))$ 的集合包含超线性多个 $k$ 项等差数列。对于整数 $r$ 和 $k$，Erd\Ho s 询问是否存在一个不含 $(k+1)$ 项等差数列的整数集 $S$，但对其任意 $r$-染色均产生单色 $k$ 项等差数列。Ne\v{s}et\v{r}il 和 R\"odl 以及独立的 Spencer 肯定地回答了该问题。我们展示了如下密度版本：对每个 $k\ge 3$ 和 $\delta>0$，存在一个密度合理的素数子集 $S$ 不含 $(k+1)$ 项等差数列，然而每个满足 $|U|\ge\delta|S|$ 的 $U\subseteq S$ 包含 $k$ 项等差数列。我们的证明使用了超图容器方法，该方法已被证明是极值组合学中非常强大的工具。容器方法背后的思想是用一个小的证书集来描述一个大的独立集。我们在附录中使用该思想给出了两个进一步的应用。