关于不含三项几何级数的整数集
数论
2013-10-10 v1 组合数学
摘要
寻找不含三项算术级数的自然数子集这一问题有着丰富的历史。Roth 定理著名地指出，任何此类子集都不可能具有正的上密度。相比之下，Rankin 于 1960 年提出研究不含三项几何级数的子集，并构造了一个密度约为 0.719 的此类子集。近年来，几位作者发现了此类集合上密度的上界。我们显著改进了这些上界，并展示了一种构造方法，所得集合的上密度大于 Rankin 的集合。该构造在某种意义上是最优的，因为我们的方法提供了一种有效计算无几何级数集合最大可能上密度的途径。我们还表明， 中的几何级数表现得更像 Roth 定理的情形，即对于足够大的 ，人们无法在避免几何级数的同时选取模 整数的任何固定正比例。
引用
@article{arxiv.1310.2277,
title = {On sets of integers which contain no three terms in geometric progression},
author = {Nathan McNew},
journal= {arXiv preprint arXiv:1310.2277},
year = {2013}
}
备注
16 pages