子立方体的无冗余族

我们考虑寻找$n$立方体$\{0,1\}^{n}$中$k$维子立方体族的最大可能大小的问题，其中没有任何一个子立方体包含在其他子立方体的并集中。（我们将这样的族称为“无冗余族”。）Aharoni和Holzman猜想，对于$k > n/2$，答案是$\binom{n}{k}$（由所有包含一个固定点的$k$子立方体族达到）。我们给出了Meshulam一般上界的一个新证明，并证明了对于$k \ge n/2$，任何所有子立方体都经过$(0,0,\ldots,0)$或$(1,1,\ldots,1)$的无冗余族的大小至多为$\binom{n}{k}$。然后我们给出一个一般下界，表明Meshulam的上界在至多$e$的因子内总是紧的。