关于 $(a,b)$-town$\pmod k$ 家族的最大尺寸

一个家族 $\mathcal{F}\subseteq\mathcal{P}(n)$ 是 $(a,b)$-town$\pmod k$，若其中所有集合的基数为 $a\pmod k$，且其中所有两两交集的基数为 $b\pmod k$。对于 $k=2$，该家族的最大尺寸已知；而对于 $k=3$，仅在 $b-a\equiv 2 \pmod 3$ 时完全理解。我们给出 $k=3$ 且 $b-a\equiv 1 \pmod 3$ 且 $n\equiv 2 \pmod 3$ 时的上界，该上界在无限多个此类 $n$ 上均为紧界。我们还给出参数 $a,b,k,n$ 的充分条件，使得优于 Ray-Chaudhuri--Wilson 一般结果的上界，这尤其表明该上界在 $k$ 固定且 $a,b,n$ 可变的情形下无限常出现。