关于偶镇与奇镇问题的两点注记

设$\mathcal A$为一个$n$元集合的子集族，若其所有集合大小均为偶数（相应地，奇数）且所有两两交的大小均为偶数，则称其为偶镇（相应地，奇镇）。利用线性代数工具，Berlekamp与Graver证明了偶镇的最大大小为$2^{\left\lfloor n/2\right\rfloor}$。另一方面（颇令人意外地），Berlekamp证明了奇镇的大小至多为$n$。在过去四十年中，这一偶/奇镇问题的许多推广得到了研究。本文给出其中两类推广的新结果。首先，推广Vu的一个结果，我们证明了对于$k \geq 3$，$k$重偶镇（即$k$个集合的交为偶数）具有唯一的极值构型，并获得了该问题的稳定性结果。接下来，我们改进了$\ell$-奇镇问题缺陷版本的一些已知界。在该问题中，我们考虑大小为$\not\equiv 0 \pmod \ell$的集合，其中$\ell$为素数（不必为$2$），并允许少数两两交的大小也为$\not\equiv 0 \pmod \ell$。