关于 $k$ 重奇镇问题的注记

对于整数 $2 \leq t \leq k$，我们考虑 $k$ 个集合族的收集 $\mathcal{A}_j: 1 \leq j \leq k$，其中 $\mathcal{A}_j = \{ A_{j,i} \subseteq [n] : 1 \leq i \leq m \}$，且 $|A_{1, i_1} \cap \cdots \cap A_{k,i_k}|$ 为偶数当且仅当至少 $t$ 个 $i_j$ 互异。在本文中，我们证明当 $t=k$ 时 $m =O(n^{ 1/ \lfloor k/2 \rfloor})$，当 $2t-2 \leq k$ 时 $m = O( n^{1/(t-1)})$，并证明这两个界均为最佳可能。特化到 $\mathcal{A} = \mathcal{A}_1 = \cdots = \mathcal{A}_k$ 的情形，我们恢复了经典奇镇问题的一个变体。