平方根之和模 $1$ 的分布

我们改进了 Steinerberger (2024) 的结果，证明了对于任意固定的 $k \in \mathbb{N}$ 和足够大的 $n$，存在整数 $1 \leq a_1, \dots, a_k \leq n$ 满足：\begin{align*} 0 < \left\| \sum_{j=1}^{k} \sqrt{a_j} \right\| = O(n^{-k/2}). \end{align*} 指数 $k/2$ 改进了 Steinerberger (2024) 此前的指数 $c k^{1/3}$，其中 $c>0$ 为绝对常数。我们还证明了对于 $\alpha \in \mathbb{R}$，存在整数 $1 \leq b_1, \dots, b_k \leq n$ 使得：\begin{align*} \left\| \sum_{j=1}^k \sqrt{b_j} - \alpha \right\| = O(n^{-\gamma_k}), \end{align*} 其中 $\gamma_k \geq \frac{k-1}{4}$，且当 $k=2^m - 1$（$m=1,2,\dots$）时 $\gamma_k = k/2$。重要的是，我们的方法避免了使用指数和。