Hilbert C*-模的非交换 $\ell_1-\ell_2$ 不等式与精确常数

设 $\mathcal{A}$ 为一个含单位元的 C*-代数。则 Hilbert C*-模理论表明 \begin{align*} \sum_{i=1}^{n}(a_ia_i^*)^\frac{1}{2}\leq \sqrt{n} \left(\sum_{i=1}^{n}a_ia_i^*\right)^\frac{1}{2}, \quad \forall n \in \mathbb{N}, \forall a_1, \dots, a_n \in \mathcal{A}. \end{align*} 通过对 Botelho-Andrade、Casazza、Cheng 和 Tran 于 2019 年给出的论证进行修改，对于某些元组 $x=(a_1, \dots, a_n) \in \mathcal{A}^n$，我们给出了一种计算 C*-代数 $\mathcal{A}$ 中正元 $c_x$ 的方法，使得等式 \begin{align*} \sum_{i=1}^{n}(a_ia_i^*)^\frac{1}{2}=c_x \sqrt{n} \left(\sum_{i=1}^{n}a_ia_i^*\right)^\frac{1}{2}. \end{align*} 成立。我们给出了对 G. G. Kasparov 积分的一个应用。我们还推导了连续 $\ell_1-\ell_2$ 不等式的精确常数公式。