非交换海森堡-罗伯逊-施朗登堡不确定性原理

设 $\mathcal{E}$ 为单一 C*-代数 $\mathcal{A}$ 上的 Hilbert C*-模。设 $A: \mathcal{D}(A) \subseteq \mathcal{E} \to \mathcal{E}$ 与 $B: \mathcal{D}(B)\subseteq \mathcal{E}\to \mathcal{E}$ 为可能无界的自伴算子。则对所有 $\langle x, x \rangle =1$ 的 $x \in \mathcal{D}(AB)\cap \mathcal{D}(BA)$，我们证明：\begin{align*} (1) \quad \quad \quad \Delta _x(B)^2d_x(A)^2+\Delta _x(A)^2d_x(B)^2\geq \frac{(\langle \{A,B\}x, x \rangle -\{\langle Ax, x \rangle,\langle Bx, x \rangle\})^2-(\langle [A,B]x, x \rangle +[\langle Ax, x \rangle,\langle Bx, x \rangle])^2}{2} \end{align*} 以及 \begin{align*} (2) \quad \quad \quad \quad \Delta _x(A)\Delta _x(B)\geq \frac{\sqrt{\|(\langle \{A,B\}x, x \rangle -\{\langle Ax, x \rangle,\langle Bx, x \rangle\})^2-(\langle [A,B]x, x \rangle +[\langle Ax, x \rangle,\langle Bx, x \rangle])^2\|}}{2}, \end{align*}其中 $\Delta _x(A):= \|Ax-\langle Ax, x \rangle x \|$, $d_x(A):= \sqrt{\langle Ax, Ax \rangle -\langle Ax, x \rangle^2}$, $[A,B] := AB-BA$, $\{A,B\}:= AB+BA$, $\{\langle Ax, x \rangle,\langle Bx, x \rangle\}:= \langle Ax, x \rangle\langle Bx, x \rangle +\langle Bx, x \rangle\langle Ax, x \rangle$, $[\langle Ax, x \rangle,\langle Bx, x \rangle]:= \langle Ax, x \rangle\langle Bx, x \rangle -\langle Bx, x \rangle\langle Ax, x \rangle$。我们将不等式(1)与(2)称为非交换海森堡-罗伯逊-施朗登堡不确定性原理。当 $\mathcal{A}=\mathbb{C}$ 时，它们还原为1930年由施朗登堡导出的经典海森堡-罗伯逊-施朗登堡不确定性原理。