无界 Donoho-Stark-Elad-Bruckstein-Ricaud-Torrésani 不确定性原理

设 $(\Omega, \mu)$, $(\Delta, \nu)$ 为测度空间且 $p=1$ 或 $p=\infty$。设 $(\{f_\alpha\}_{\alpha\in \Omega}, \{\tau_\alpha\}_{\alpha\in \Omega})$ 与 $(\{g_\beta\}_{\beta\in \Delta}, \{\omega_\beta\}_{\beta\in \Delta})$ 为 Banach 空间 $\mathcal{X}$ 上的无界连续 p-Schauder 框架。则对任一 $x \in ( \mathcal{D}(\theta_f) \cap\mathcal{D}(\theta_g))\setminus\{0\}$,我们证明 \begin{align}\label{UB} (1) \quad \quad \quad \quad \mu(\operatorname{supp}(\theta_f x))\nu(\operatorname{supp}(\theta_g x)) \geq \frac{1}{\left(\displaystyle\sup_{\alpha \in \Omega, \beta \in \Delta}|f_\alpha(\omega_\beta)|\right)\left(\displaystyle\sup_{\alpha \in \Omega , \beta \in \Delta}|g_\beta(\tau_\alpha)|\right)}, \end{align} 其中 \begin{align*} &\theta_f:\mathcal{D}(\theta_f) \ni x \mapsto \theta_fx \in \mathcal{L}^p(\Omega, \mu); \quad \theta_fx: \Omega \ni \alpha \mapsto (\theta_fx) (\alpha):= f_\alpha (x) \in \mathbb{K},\\ &\theta_g:\mathcal{D}(\theta_g) \ni x \mapsto \theta_gx \in \mathcal{L}^p(\Delta, \nu); \quad \theta_gx: \Delta \ni \beta \mapsto (\theta_gx) (\beta):= g_\beta (x) \in \mathbb{K}. \end{align*} 我们称不等式 (1) 为 \textbf{无界 Donoho-Stark-Elad-Bruckstein-Ricaud-Torr\'{e}sani 不确定性原理}。连同近期的 \textbf{泛函连续不确定性原理} [arXiv:2308.00312],不等式 (1) 也改进了 Ricaud-Torr\'{e}sani 不确定性原理 [IEEE Trans. Inform. Theory, 2013]。特别地,它改进了 Elad-Bruckstein 不确定性原理 [IEEE Trans. Inform. Theory, 2002] 与 Donoho-Stark 不确定性原理 [SIAM J. Appl. Math., 1989]。