函数型 Donoho-Stark 近似支撑不确定性原理

设 $(\{f_j\}_{j=1}^n, \{\tau_j\}_{j=1}^n)$ 与 $(\{g_k\}_{k=1}^n, \{\omega_k\}_{k=1}^n)$ 为有限维 Banach 空间 $\mathcal{X}$ 的两组 p-正交基。若 $x \in \mathcal{X}\setminus\{0\}$ 满足 $\theta_fx$ 关于 p-范数在 $M\subseteq \{1,\dots, n\}$ 上 $\varepsilon$-支撑，且 $\theta_gx$ 关于 p-范数在 $N\subseteq \{1,\dots, n\}$ 上 $\delta$-支撑，则我们证明\n\begin{align}\label{ME} (1) \quad \quad \quad \quad &o(M)^\frac{1}{p}o(N)^\frac{1}{q}\geq \frac{1}{\displaystyle \max_{1\leq j,k\leq n}|f_j(\omega_k) |}\max \{1-\varepsilon-\delta, 0\},\\ (2) \quad \quad \quad \quad&o(M)^\frac{1}{q}o(N)^\frac{1}{p}\geq \frac{1}{\displaystyle \max_{1\leq j,k\leq n}|g_k(\tau_j) |}\max \{1-\varepsilon-\delta, 0\},\label{ME2} \end{align}\n其中\n\begin{align*} \theta_f: \mathcal{X} \ni x \mapsto (f_j(x) )_{j=1}^n \in \ell^p([n]); \quad \theta_g: \mathcal{X} \ni x \mapsto (g_k(x) )_{k=1}^n \in \ell^p([n]) \end{align*}\n且 $q$ 为 $p$ 的共轭指数。我们称不等式 (1) 与 (2) 为\textbf{函数型 Donoho-Stark 近似支撑不确定性原理}。不等式 (1) 与 (2) 改进了 Donoho 与 Stark \textit{[SIAM J. Appl. Math., 1989]} 所得的有限近似支撑不确定性原理。