关于小整数平方根之和的比较

设 $k$ 和 $n$ 为正整数,$n>k$。定义 $r(n,k)$ 为 $$|\sqrt{a_1} + ... + \sqrt{a_k} - \sqrt{b_1} - ... -\sqrt{b_k} |$$ 的最小正值,其中 $a_1, a_2, ..., a_k, b_1, b_2, ..., b_k$ 是不大于 $n$ 的正整数。在计算几何中,确定一个关于 $-\log r(n,k)$ 的良好上界是一个重要问题。本文我们证明了一个 $2^{O(n/\log n)} \log n$ 的上界,当对于某个常数 $c$ 有 $n \leq ck\log k$ 时,该上界优于已知最佳结果 $O(2^{2k} \log n)$。特别地,我们的结果意味着一个用于比较两个大小为 $o(k\log k)$ 的整数平方根之和的{\em 次指数}算法。