通过格基约化界定平方根和的下界

设$k$和$n$为正整数。定义$R(n,k)$为$$| e_1 \sqrt{s_1} + e_2 \sqrt{s_2} + ... + e_k \sqrt{s_k} - t |$$的最小正值，其中$s_1, s_2, ..., s_k$为不超过$n$的正整数，$t$为整数，且对所有$1\leq i\leq k$有$e_i\in \{1,0, -1\}$。在计算几何中，确定$R(n,k)$的好的上下界非常重要。本文表明该问题与某些整数格中的最短向量问题密切相关，并提出一种基于格基约化算法来寻找下界的算法。虽然我们只能证明该算法的时间上界是指数级的，但当$k$很大且穷举搜索最小值显然不可行时，该算法是高效的。它产生的下界远优于根分离技术。基于数值数据，我们提出了关于该格中非零最短向量长度的猜想，该猜想的验证意味着我们的算法可在多项式时间内运行，且比较两个小整数平方根和的问题可在多项式时间内解决。作为附带结果，当$n$远小于$2^{2k}$时，我们得到了$R(n,k)$的构造性上界。