正负守恒矩形计数：平方网格中所有格子矩形的近线性时间算法

我们研究平方区域 $[0,n)\times[0,n)$ 中所含所有格子矩形的精确计数问题，包括非轴平行矩形。基于原始参数化中原始方向 $(u,v)$ 和两个边长，我们推导了多个精确算法：经典 $O(n^2)$ 扫描、复杂度 $O(n^{3/2}\log n)$ 和 $O(n^{4/3}\log n)$ 的分解、复杂度 $O(n\log^3 n)$ 的十矩加权 floor 和求和归约，以及复杂度 $O(n\log^2 n)$ 的除数层算法。我们还给出一个计算 $F(1),\ldots,F(N)$ 的全值算法，其复杂度为 $O(N^{3/2})$。近线性时间复杂度算法的核心思想是将几何求和归约为常数规模的加权 floor 和的家族，这些家族在仿射和倒数变换下封闭。除了精确算法结果外，我们还推导了一个两项渐近展开式：$F(n)=\frac{4\log 2-1}{\pi^2}n^4\log n+B\,n^4+o(n^4)$，其中 $B$ 的显式公式为大 $n$ 数值数据提供了独立的一致性检验。