基于M-椭球覆盖的任意范数下枚举格点算法
数据结构与算法
2011-06-14 v4 计算几何
摘要
我们提出了一种新颖的算法，用于枚举任意凸体中的格点，并将其应用于几个经典格问题，包括最短向量问题（SVP）和最近向量问题（CVP）以及整数规划（IP）。我们的枚举技术依赖于渐近凸几何中的一个经典概念，即M-椭球，并使用Micciancio和Voulgaris（STOC 2010）最近提出的l_2范数下格问题算法作为关键子程序。作为一项可能具有独立意义的主要技术贡献，我们基于Klartag（几何与泛函分析，2006）的技术，给出了一个期望时间为2^O(n)的算法，用于计算任意n维凸体的M-椭球。作为应用，我们给出了确定性2^{O(n)}时间和空间算法，用于在给定单位球的M-椭球的情况下，在任意（半）范数下的n维格上求解精确SVP，以及当目标点足够接近格时的精确CVP。在许多感兴趣的范数中，包括所有l_p范数，M-椭球可在确定性poly(n)时间内计算，在这种情况下，这些算法是完全确定性的。这里我们的方法可被视为用于精确SVP和CVP的“AKS筛法”（Ajtai, Kumar, and Sivakumar; STOC 2001 and CCC 2002）的去随机化。作为我们SVP算法的进一步应用，我们推导出一个期望O(f*(n))^n时间的整数规划算法，其中f*(n)表示所谓“平坦性定理”中的最优界，满足f*(n) = O(n^{4/3} \polylog(n))，并推测f*(n)=\Theta(n)。我们的运行时间改进了Hildebrand和Koppe（2010）先前的最佳结果O(n^{2})^{n}。
引用
@article{arxiv.1011.5666,
title = {Enumerative Lattice Algorithms in Any Norm via M-Ellipsoid Coverings},
author = {Daniel Dadush and Chris Peikert and Santosh Vempala},
journal= {arXiv preprint arXiv:1011.5666},
year = {2011}
}