最小化平移多边形中的格点数

参数化格点计数问题如下：给定一个整数矩阵 $A \in Z^{m \times n}$，计算一个以 $b \in R^m$ 为参数的显式公式，该公式确定多面体 $\{x \in R^n : Ax \leq b\}$ 中的整数点数。在过去十年中，该计数问题在文献中受到了广泛关注。已证明，若 $A$ 的列数 $n$ 固定，Barvinok 算法的若干变体可在多项式时间内求解此问题。我们研究的核心是以下问题：能否也有效地确定一个参数 $b$，使得 $\{x \in R^n : Ax \leq b\}$ 中的整数点数最小化？此处，参数 $b$ 可从给定的多面体 $Q \subseteq R^m$ 中选取。我们的主要结果是证明了寻找这样一个最小化参数是 NP 困难的，即使在二维中，且即使该参数化反映的是二维凸多边形的平移。该结果是通过建立此问题与等差数列和联立丢番图逼近之间的关系来证明的。在正面结果方面，我们证明了在二维中，对于每个固定的 $k$，存在一个多项式时间算法，它要么确定一个最小化平移，要么断言任何平移所包含的格点数至多为最小格点数的 $1 + 1/k$ 倍。