通过集中估计的多面体整数点数目上界
组合数学
2010-11-30 v1 概率论
摘要
计算甚至估计多面体P中整数点的数量通常是困难的。Barvinok和Hartigan通过信息论方法处理了该问题，展示了如何高效计算一个随机向量，该向量以（可计算的）恒定质量对P中的整数点进行采样，但也可能落在P之外。因此，要计算P中的整数点，只需确定该随机向量落在P内的频率。我们证明了一组可高效计算的该频率上界。我们还表明，如果P由n个线性不等式和m个线性方程（m固定）适当表示，那么在温和条件下，将上述随机向量的期望值与原点分离时，随着n趋于无穷，其落在P内的频率为O(n^{-m/2})。如同经典的Littlewood-Offord问题，本文所有结果均通过界定独立随机变量之和的点集中程度获得；我们概述了与先前工作的联系。
引用
@article{arxiv.1011.6252,
title = {Bounds on the number of integer points in a polytope via concentration estimates},
author = {Austin Shapiro},
journal= {arXiv preprint arXiv:1011.6252},
year = {2010}
}
备注
23 pages