平移簇与簇周围的离散邻域
代数几何
2019-07-19 v2 离散数学
摘要
在计算机代数的符号-数值计算领域中，一个有趣的问题是随机输入距离“临界”输入有多“近”，例如线性代数中的奇异矩阵或牛顿求根法中具有重根的多项式。对于此类“临界”输入簇邻域在 R 或 C 上的体积，已知有界限（有时非常精确）。本文处理该问题的离散版本：在有限域上，给定簇周围某类邻域中有多少点？此数量的一个平凡上界为（簇的大小）×（一点的邻域大小）。结果表明该上界通常渐近紧，包括对于奇异矩阵、具有重根的多项式以及非互素多项式对。那么有趣的问题是：对于哪些簇该上界不成立？我们证明恰好是那些容许平移的簇，即其中一个绝对不可约分支是另一此类分支的平移（由固定非零点的平移）。此外，平移不变绝对不可约簇被刻画为某基簇上的柱面。在计算上，判定给定簇是否平移不变被证明是难处理的，即在简单情况下也是 NP-hard。
引用
@article{arxiv.1812.07020,
title = {Shifted varieties and discrete neighborhoods around varieties},
author = {Joachim von zur Gathen and Guillermo Matera},
journal= {arXiv preprint arXiv:1812.07020},
year = {2019}
}
备注
25 pages, new abstract and introduction, examples added