多面体中整点数的最大熵 Edgeworth 估计

位于 $R^n$ 中整数立方体 $C$ 内且满足约束 $\sum_j h_{ij}(x_j )=s_i ,1\le i\le d$ 的点 $x=(x_1 ,x_2 ,...x_n)$ 的个数，由一个基于 $x \in C$ 上最大熵密度 $p$ 的 Edgeworth 校正高斯公式近似，该密度满足 $E\sum_j h_{ij}(x_j )=s_i ,1\le i\le d$。在 $p$ 下，变量 $X_1 ,X_2 ,...X_n$ 是独立的，且具有指数形式的密度。令 $S_i$ 表示随机变量 $\sum_j h_{ij}(X_j )$，在 $S=s$ 条件下，$X$ 在 $C$ 中满足 $S=s$ 的整数上均匀分布。$C$ 中满足 $S=s$ 的点数为 $p \{S=s\}\exp (I(p))$，其中 $I(p)$ 是密度 $p$ 的熵。我们通过 $p_Z(s)$ 估计 $p \{S=s\}$，$p_Z(s)$ 是均值向量和协方差矩阵与 $S$ 相同的多元高斯分布 $Z$ 在 $s$ 处的密度；当 $d$ 很大时，我们还额外使用一个需要 $p$ 下 $S$ 的前四阶矩的 Edgeworth 因子。本文证明了 Edgeworth 校正估计的渐近有效性，并通过行列数趋于无穷时给定行和与列和的列联表计数，以及顶点数趋于无穷时给定度序列的图计数，展示了该估计的有效性。