关于公式符号度的一个注记

量子查询复杂度的最新突破表明，在有界误差设置下，任何规模为 $n$ 的公式都可以用 $O(\sqrt{n}\log(n)/\log\log(n))$ 次量子查询进行评估 [FGG08, ACRSZ07, RS08b, Rei09]。特别地，这给出了相同量级的公式近似多项式度的上界，因为近似多项式度是量子查询复杂度的下界 [BBCMW01]。这些结果基本上肯定地回答了 O'Donnell 和 Servedio [O'DS03] 的一个猜想，即每个规模为 $n$ 的公式的符号度——在布尔立方体上与函数符号一致的多项式的最小次数——是 $O(\sqrt{n})$。在本注记中，我们证明符号度在函数复合下是超乘性的。将此结果与上述关于公式量子查询复杂度的上界相结合，可以去除对数因子，从而证明每个规模为 $n$ 的公式的符号度至多为 $\sqrt{n}$。