量子傅里叶变换的快速并行电路

我们给出量子傅里叶变换（QFT）电路复杂度的新界限。对于模2^n、误差以epsilon为界的QFT近似计算，我们给出电路深度O(log n + log log (1/epsilon))的上界。因此，即便对于指数级小的误差，我们的电路深度仍为O(log n)。此前最佳的深度界限为O(n)，即便对于具有常数误差的近似也是如此。此外，我们的电路规模为O(n log (n/epsilon))。我们还给出模2^n精确QFT电路规模O(n (log n)^2 log log n)的上界，其此前最佳界限为O(n^2)。作为上述深度界限的应用，我们证明Shor因式分解算法可基于深度仅为O(log n)且规模为多项式的量子电路，结合经典多项式时间预处理与后处理。在计算复杂度的语言中，这意味着因式分解属于复杂度类ZPP^BQNC，其中BQNC是由具有多对数深度与多项式规模的量子电路以有界误差概率可计算问题构成的类。最后，我们证明具有常数误差的QFT近似的深度复杂度下界为Omega(log n)。这意味着上述上界是渐近最优的（对于epsilon的合理取值范围内）。