Jacobi 因式分解电路：使用近线性门数与亚线性空间及深度的量子因式分解

我们提出了一种用于因式分解一大类整数的紧凑量子电路，其中包括一些预期其经典难度等价于 RSA 的整数（但不包括 RSA 整数本身）。最值得注意的是，我们在 $n$ 的亚线性空间和深度内（具体为 $\tilde{O}(\log Q)$），使用 $\tilde{O}(n)$ 个量子门，对形式为 $P^2 Q$ 且 $\log Q = \Theta(n^a)$（其中 $a \in (2/3, 1)$）的 $n$ 位整数进行了因式分解；对于这些整数，没有已知的经典算法能够利用 $Q$ 相对较小的尺寸来运行得比通用因式分解算法渐近更快。据我们所知，这是首个在经典困难因式分解问题上实现亚线性量子比特数的多项式时间电路。因此，我们认为，分解此类数字有潜力成为目前已知的最具体高效且可经典验证的量子性证明。我们的电路建立在 Li、Peng、Du 和 Suter（Nature Scientific Reports 2012）发现的无平方分解量子算法之上，该算法依赖于在量子叠加中计算 Jacobi 符号。我们贡献的技术核心是一种新的空间高效量子算法，用于计算 $A$ mod $B$ 的 Jacobi 符号，适用于 $B$ 为经典且远大于 $A$ 的情形。我们用于计算 Jacobi 符号的电路可推广至相关问题，如计算最大公约数和模逆元，因此可能具有独立的研究价值。