Bernoulli和除子的一个精确估计

设$S_n=\e_1+...+\e_n$，其中$\e_i$是独立同分布的Bernoulli随机变量。设$0\le r_d(n)<2d$是$n$模$(2d)$的最小剩余，$\bar r_d(n)= 2d -r_d(n)$且$\b(n,d)=\max ({1\over d}, {1\over \sqrt n})[e^{- {r_d(n)^2/2 n}} +e^{- {\bar r_d(n)^2/2 n}}]$。我们证明$$\sup_{2\le d\le n} \big|\P\big\{d|S_n\big\}- E(n,d) \big|= {\cal O}\big({\log^{5/2} n \over n^{3/2}}\big),$$其中$E(n,d)$满足$c_1\b(n,d)\le E(n,d)\le c_2\b(n,d)$，且$c_1,c_2$是数值常数。